Untai Dasar dan Aljabar Boolean

BAB I

TUJUAN

1.    Untuk membuktikan Teori Aljabar Boolean menggunakan rangkaian IC Logic.

2.    Untuk mengetahui operasi dasar logika dan gerbang logika.

3.    Untuk mengetahui aplikasi dasar Aljabar Boolean dan dasar gerbang logika.

BAB II

LANDASAN TEORI

Gerbang logika adalah piranti dua-keadaan, yaitu mempunyai keluaran dua keadaan: keluaran dengan nol volt yang menyatakan logika 0 (atau rendah) dan keluaran dengan tegangan tetap yang menyatakan logika 1 (atau tinggi). Gerbang logika dapat mempunyai beberapa masukan yang masing-masing mempunyai salah satu dari dari dua keadaan logika, yaitu 0 atau 1. Gerbang logika dapat digunakan untuk melakukan fungsi-fungsi khusus, misalnya AND, OR, NAND, NOR, NOT, atau EX-OR (XOR).

GERBANG AND. Gerbang AND digunakan untuk menghasilkan logika 1 jika semua masukan mempunyai logika 1, jika tidak maka akan dihasilkan logika 0. Daftar yang berisi kombinasi semua kemungkinan keadaan masukan dan keluaran yang dihasilkan disebut sebagai tabel kebenaran dari gerbang yang bersangkutan. Tabel 2.1 menunjukkan tabel kebenaran dari gerbang dua-masukan.

GERBANG NAND. Gerbang NAND akan mempunyai keluaran 0 bila semua masukan pada logika 1. Sebaliknya, jika ada sebuah logika 0 pada sembarang masukan pada gerbang NAND, maka keluarannya akan bernilai 1 (lihat Tabel 2.1). Kata NAND merupakan kependekan dari NOT-AND, yang merupakan ingkaran dari gerbang AND.

GERBANG NOR. Gerbang NOR  akan memberikan keluaran 0 jika salah satu dari masukannya pada keadaan 1. Jika diinginkan keluaran bernilai 1, maka semua masukan harus dalam keadaan 0 (lihat Tabel 2.1). Kata  NOR merupakan kependekan dari NOT-OR, yang merupakan ingkaran dari gerbang OR.

Tabel 2.1 Tabel kebenaran dari gerbang dua-masukan

Masukan		Keluaran
A	B	AND	NAND	OR	NOR	XOR
0	0	0	1	0	1	0
0	1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	1	0	1
1	1	1	0	1	0	0

GERBANG OR. Gerbang OR akan memberikan keluaran 1 jika salah satu dari masukannya pada keadaan 1. Jika diinginkan keluaran bernilai 0, maka semua masukan harus dalam keadaan 0 (lihat Tabel 2.1).

GERBANG NOT. Gerbang NOT merupakan gerbang 1 masukan yang berfungsi sebagai pembalik (inverter). Jika masukannya tinggi, maka keluarannya rendah, dan sebaliknya.

GERBANG XOR. Gerbang XOR (dari kata exclusive-OR) akan memberikan keluaran 1 jika masukan-masukannya mempunyai keadan yang berbeda. Tabel kebenarannya terlihat pada Tabel 2.1. Dari table tersebut dapat dilihat bahwa keluaran pada gerbang XOR merupakan penjumlahan biner dari masukannya.

UNGKAPAN BOOLE. Keluaran dari satu atau kombinasi beberapa buah gerbang dapat dinyatakan dalam suatu ungkapan logika yang disebut ungkapan Boole. Teknik ini memanfaatkan aljabar boole dengan notasi-notasi khusus dan aturan-aturan yang berlaku untuk elemen-elemen logika termasuk gerbang logika.

Aljabar boole mempunyai notasi sebagai berikut:

(a)    Fungsi AND dinyatakan dengan sebuah titik (dot,.). Sehingga, sebuah gerbang And yang mempunyai masukan A dan B keluarannya bisa dinyatakan sebagai :

F = A.B atau F = B.A

Dengan A dan B adalah masukan dari gerbang AND. Untuk gerbang AND tiga masukan (A, B, dan C), maka keluarannya bisa dituliskan sebagai:

F = A.B.C

Tanda titik sering tidak ditulis, sehingga persamaan diatas bisa ditulis sebagai F = AB (atau BA) dan F = ABC.

(b)   Fungsi OR dinyatakan dengan sebuah simbol plus (+). Sehingga gerbang OR dua-masukan dengan masukan A dan B. Keluarannya dapat dituliskan sebagai :

F = A+B atau F = B+A

(c)    Fungsi NOT dinyatakan dengan garis atas (overline) pada masukan A mempunyai keluaran yang dapat dituliskan sebagai :

F = (dibaca sebagai not A atau bukan A)

(d)   Fungsi XOR dinyatakan dengan simbol .untuk gerbang XOR dua-masukan, keluarannya bisa dituliskan sebagai :

F = A+B

Notasi NOT digunakan untuk menyajikan sembarang fungsi pembalik (lingkaran). Sebagai contoh, jika keluaran dari gerbang AND diingkar untuk menghasilkan fungsi NAND, ungkapan Boole dapat dituliskan sebagai :

            F = A.B atau F = AB

Ungkapan Boole untuk fungsi NOR adalah :

            F = A . B                                                                                           (Ibrahim K F,1996)

Apakah suatu tindakan itu baik atau buruk ? Apakah keputusannya benar atau salah? Apakah jawabannya ya atau tidak? Seringkali jalan pikiran dan logika kita berurusan dengan upaya untuk mencari jawaban dari pertanyaan yang mempunyai dua nilai seperti di atas. Logika dua nilai itu sangat mempengaruhi pemikiran Aristoteles yang beusaha mencari cara untuk mengungkapkan kebenaran berdasarkan pengandaian yang benar. Logika semacam itu juga menarik para matematikawan yang merasakan adanya hubungan antara logika itu dengan suatu proses aljabar.

DeMorgan membuka jalan yang menghubungkan logika dengan matematika. Tetapi Boole (1854) yang berhasil menyatukannya. Boole menciptakan suatu aljabar baru yang menggantikan metode aristoteles. Boole membuktikan bahwa logika biner atau logika dua nilai berlaku untuk huruf dan lambang ketimbang untuk ungkapan dengan kata-kata seperti yang dipakai oleh Aristoteles. Metoda aljabar Boole digunakan untuk menguraikan, memanipulasi, dan menyederhanakan pernyataan logika dengan cara yang sistematik. Keunggulan metoda Boole ini terletak pada kesederhanaan dan ketepatannya.

Aljabar Boole tidak mempunyai dampak terhadap dunia teknik sampai Shannon (1938) menerapkan aljabar baru tersebut untuk rangkaian pengalihan telepon (telephone switching circuits). Karena suatu saklar pengalih adalah suatu peralatan biner (terhubung atau terputus), Shannon dapat menganalisis dan merancang rangkaian pengalih itu dengan menggunakan aljabar Boole.

Matematika merupakan sarana yang berguna dalam analisis rangkaian logika digital. Semua operasi logika dalam suatu rangkaian logika tergantung pada ada atau tiadanya sinyal, suatu variabel logika hanya dapat mempunyai salah satu dari dua nilai yang mungkin terjadi. Matematika dengan logika dua nilai itu disebut aljabar Boole dua nilai.

Aljabar Boole, sebagaimana halnya dengan sistem matematika deduktif yang lain, dapat didefinisikan dengan suatu himpunan unsur, himpunan operator, dan sejumlah aksioma atau postulat. Suatu himpunan unsur adalah setiap kumpulan besaran yang mempunyai sifat yang sama.

Aljabar Boole adalah suatu susunan aljabar yang terdefinisi pada suatu himpunan unsur B bersama-sama dengan dua operator biner + dan . (dengan a.b ditulis sebagai ab). Ada dua unsur identitas yang unik dalam B, yaitu 0 dan 1. Aljabar Boole dengan dua nilai ini setara dengan logika biner yang berhubungan dengan variable yang mempunyai dua nilai diskret dan dengan operasi yang mempunyai arti logika.                     (Mismail Budiono,1998)

Yang dimaksud aljabar Boolean adalah persamaan (aljabar) logika dasar untuk menyederhanakan rangkaian logika digital agar diperoleh bentuk persamaan yang lebih sederhana. Memahami aljabar Boolean merupakan syarat mutlak agar mampu membangun sistem digital yang lebih kompleks dari gerbang-gerbang sederhana.

Tiga hukum aljabar Boolean untuk fungsi penjumlahan logika (gerbang OR) dan fungsi perkalian logika (gerbang AND) adalah :

1.    Hukum komutatif : yaitu baik fungsi penjumlahan logika maupun fungsi perkalian logika berlaku hukum komutatif.

A+B = B+A

A.B = B.A

2.    Hukum Asosiatif : yaitu baik fungsi penjumlahan logika (gerbang OR) maupun fungsi perkalian logika (gerbang AND) berlaku hukum asosiatif.

A + (B + C) = (A + B) + C

A.(B.C) = (A.B). C

3.    Hukum Distributif : yaitu baik fungsi penjumlahan logika (gerbang OR) maupun fungsi perkalian logika (gerbang AND) berlaku hukum distributive.

A(B+C) = A.B + A.C

(A+B).(C+D) = A.C + A.D + B.C +B.D

Penjelasan :

1.    Hukum kumutatif :

Mengacu kepada tabel kebenaran gerbang AND dan gerbang OR. Tampak jelas bahwa posisi masukan A atau B dibalik tidak akan mempengaruhi keluaran gerbang.

2.    Hukum asosiatif :

Sama halnya sifat pembuktian kumutatif diatas, sifat asosiatif juga berlaku untuk fungsi gerbang logika. Sebagai contoh dapat mengacu pada gerbang OR dan gerbang AND.

3.    Hukum distributif :

Sifat distributif operasional gerbang logika dapat dibukti dengan mengacu pada sifat distributive gerbang logika dengan menggunakan tabel kebenaran pada gerbang AND dan gerbang OR. Sebenarnya baik sifat kumutatif, asosiatif dan distributif secara otomatis akan terpenuh bila hanya menyangkut operasi skala, fungsi gerbang logika bukanlah bersifat vector sehingga selalu memenuhi ketiga sifat tersebut.                                        (Muis Saludin,2010)

Aljabar Boolean dapat didefinisikan secara abstrak dalam beberapa cara. Cara yang paling umum adalah dengan menspesifikasikan unsur – unsure pembentuknya dan operasi – operasi yang menyertainya. Misalkan B adalah himpunan yang didefinisikan pada dua operator biner, + dan ., dan sebuah operator uner,’. Misalkan 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.

Maka, tupel <B, +, ., ‘, 0, 1> disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c 0 B berlaku aksioma (sering dinamakan juga Postulat Huntington) berikut :

1. Identitas

(i) a + 0 = a

(ii) a . 1 = a

2. Komutatif

(i) a + b = b + a

(ii) a . b = b .a

3. Distributif

(i) a . (b + c) = (a . b) + (a . c)

(ii) a + (b . c) = (a + b) . (a + c)

4. Komplemen

Untuk setiap a 0 B terdapat elemen unik a’ 0 B sehingga

(i) a + a’ = 1

(ii) a .a’ = 0

Elemen 0 dan 1 adalah dua elemen unik yang berada di dalam B. 0 disebut elemen terkecil dan 1 disebut elemen terbesar. Kedua elemenunik dapat berbeda-beda pada beberapa aljabar Boolean (misalnya ι dan U pada himpunan, False dan True pada proposisi), namun secara umum kita tetap menggunakan 0 dan 1 sebagai dua elemen unik yang berbeda. Elemen 0 disebut elemen zero, sedangkan elemen 1 disebut elemen unit. Operator + disebut operator penjumlahan, .disebut operator perkalian, dan ‘ disebut operator komplemen.  Terdapat perbedaan antara aljabar Boolean dengan aljabar biasa untuk aritmetika bilangan riil :

1.    Hukum distributif yang pertama, a . (b + c) = (a . b) + (a . c) sudah dikenal di dalam aljabar biasa, tetapi hokum distributif yang kedua, a + (b . c) = (a + b) . (a + c), benar untuk aljabar Boolean, tetapi tidak benar untuk aljabar biasa.

2.    Aljabar Boolean tidak memiliki kebalikan perkalian (multiplicative inverse) dan kebalikan penjumlahan; karena itu, tidak ada operasi pembagian dan pengurangan di dalam aljabar Boolean.

3.    Aksioma nomor 4 pada definisi 2.1 mendefinisikan operator yang dinamakan komplemen yang tidak tersedia pada aljabar biasa.

Aljabar biasa memperlakukan himpunan bilangan riil dengan elemen yang tidak berhingga banyaknya. Sedangkan aljabar Boolean memperlakukan himpunan elemen B yang sampai sekarang belum didefinisikan, tetapi pada aljabar Boolean dua-nilai, B didefinisikan sebagai himpunan dengan hanya dua nilai, 0 dan 1.

(https://ketinggalan.files.wordpress.com/2010/11/definisi-aljabar-boolean-versi-11.pdf)

BAB III

METODELOGI PERCOBAAN

3.1    Peralatan Dan Komponen

3.1.1 Peralatan

1.    Power supply 5 Volt DC

Berfungsi sebagai sumber catu daya untuk mengaktifkan rangkaian sebesar 5 volt.

2.    Jumper

Berfungsi sebagai penghubung (konektor) pada protoboard.

3.    Penjepit buaya

Berfungsi untuk penghubung antar komponen dengan alat atau alat dengan alat dalam percobaan.

4.    Protoboard

Berfungsi sebagai tempat merangkai komponen-komponen sementara.

5.    Saklar

Berfungsi sebagai pemberi input logika high dan low.

3.1.2   Komponen

1.    IC 7404 (1 buah)

Berfungsi sebagai IC gerbang NOT dengan 2 masukan dan 1 keluaran.

2.    IC 7408 (1 buah)

Berfungsi sebagai IC gerbang AND dengan 2 masukan dan 1 keluaran.

3.    IC 7411 (1 buah)

Berfungsi sebagai IC gerbang ANDNOT dengan 3 masukan dan 1 keluaran.

4.    IC 7432 (1 buah)

Berfungsi sebagai IC gerbang OR dengan 2 masukan dan 1 keluaran.

5.    LED (1 buah)

Berfungsi sebagai indikator hidup (high) dan mati (low).

6.    Resistor (330 ohm) 1 buah

Berfungsi sebagai hambatan arus.

GAMBAR PERCOBAAN

A.  Percobaan I

B.  Percobaan II

DAFTAR PUSTAKA

Ibrahim K F. 1996. “Teknik Digital”. Yogyakarta: ANDI.

            Halaman : 23 - 27

Mismail Budiono. 1998. “Dasar-dasar Rangkaian Logika Digital”. Bandung: ITB.

            Halaman : 60 – 66

Muis Saludin. 2010. “Teknik Digital Dasar”. Yogyakarta: Graha Ilmu.

            Halaman : 25 – 28

https://ketinggalan.files.wordpress.com/2010/11/definisi-aljabar-boolean-versi-11.pdf

         Diaksespada : 16 Maret 2015

         Pukul 17:48

Mau lihat lebih lengkapnya??
Klik link ini Untai Dasar dan Aljabar Boolean.pdf